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河南理工大學萬方科技學院2009~2010學年計算方法參考答案

河南理工大學萬方科技學院2009~2010學年計算方法參考答案

河南理工大學萬方科技學院 2009~2010 學年
參考答案 計算方法 A 卷參考答案
一、填空題 1. 2. 3.

5.000; 1; 1;

4.

?3 ? ? 2 , 2 ?; ? ?

5.

x n +1

3 2 2 xn ? xn ? 1 = 2 ; 3xn ? 2 xn ? 1

6. 7.

5, 11

y n =1 = y n +

h [(xn + sin y n ) + (xn+1 + sin y n+1 )]; (n = 0,1,2,?) 2

二、計算題 1. 解:

e( x1 x 2 ) ≤ 2.01 × 0.005 + 3.14 × 0.005 = 0.02575 或2.575 × 10 -2

(

)

e r (x1 x 2 ) =

e(x1 x 2 ) 0.02575 = = 0.00408 或4.08 × 10 -3 x1 x 2 2.01 × 3.14

(

)
二階差商

2. 解:做出差商表確定插值多項式:

k 0 1 2

xk 100 121 144

f (xk)

一階差商

10 11 12

1 21 1 23

?

1 21 × 22 × 23

得二次牛頓插值多項式:

1 1 (x ? 100) ? (x ? 100)(x ? 121) 21 21 × 22 × 23 27 27 × 6 ∴ 127 ≈ N 2 (127 ) = 10 + ? = 10 + 1.285714 ? 0.15246 ≈ 11.13 21 21 × 22 × 23
答案不一定正確! ! 3. 解: 若使其具有三次代數精度,那么求積公式 f ( x ) = 1, x, x 2 , x 3 對準確成立,對 f ( x ) = x 4 不準 確成立。則有:

N 2 ( x ) = 10 +

? C 0 = 2, ? C 0 + C1 = 4 ? C = 2, ? C x +C x = 0 ? 1 1 1 2 ? 0 0 ? , 16 ? ? x0 = ? ? 2 2 3 ?C 0 x0 + C1 x1 = 3 ? ? x = 2 ; ? 3 3 ? C 0 x + C1 x1 = 0 ? 1 3 ?
所以,得:

?2

∫ f ( x)dx ≈ 2 f (?

2

2 3

)+2f(

2 3

);
64 64 ,右邊= ;所以公式不準確成立,故求積公式的 5 9

將 f ( x) = x 4 代入求積公式,左邊= 代數精度為 3 。 4. 解:


b

b

n ?1 h? ? f ( x)dx ≈ ? f (a) + 2∑ f ( x k ) + f (b)? 2? k =1 ?

=

1 ? ? 50 50 50 50 ? 2 ? ?1 + 2? 61 + 71 + 89 + 106 ? + 5 ? 10 ? ? ? ?

≈ 0.65
5. 解: 將 f ( x, y ) = x + y ? 1 代入公式,得

? y n +1 = y n + h( x n + y n ? 1), (n = 0,1,2, ?) ? y (0) = 1, h = 0.1; ?
迭代,得

y1 = y 0 + 0.1 × (0 + 1 ? 1) = 1;

y 2 = y1 + h( x1 + y1 ? 1) = 1 + 0.1 × (0.1 + 1 ? 1) = 1.01;
y3 = y 2 + h( x 2 + y 2 ? 1) = 1.01 + 0.1 × (0.2 + 1.01 ? 1) = 1.031 ≈ 1.03;
6. 解: 依次從三個方程中分別分離出,把方程等價變形為

? ? x1 = ? x 2 ? x3 + 1, ? ? x 2 = ?2 x1 ? 3 x3 , ? 1 1 ? x3 = x1 ? 2 x 2 + ; 2 2 ?
以x
(0)

= (0,0,0) T 為初始值,迭代得:

1 x (1) = (1,0, ) T , 2 1 7 T x ( 2 ) = ( ,? ,1) , 2 2 7 31 x (3) = (? ,?4, ) T ; 2 4
三、綜合題 1. 解: 1) 構造迭代格式: 方程等價變形為 x 3 = x 2 + 1; 等價形式為: x =
3

x 2 + 1 = ? ( x);
2

得迭代格式: x n +1 = 3 x n + 1;

? ' ( x) =

2x 33 ( x 2 + 1) 2

≤ 0.5 < 1;

所以,迭代格式收斂; 2) ∵ f ( x ) = x 3 ? x 2 ? 1;

∴ f ' ( x) = 3 x 2 ? 2 x; x n +1
3 2 2 xn ? xn + 1 = ; 2 3xn ? 2 xn

x0 = 1.0 時, x1 = 2 , x 2 = 1.625 , x3 = 1.486 , x 4 = 1.466 ;
所以, 1.5 附近的根為 1.466;


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