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高等數學(2017高教五版)課件第二型曲面積分(工科類)_圖文

高等數學(2017高教五版)課件第二型曲面積分(工科類)_圖文

數學分析 第二十二章 曲面積分 第二型曲面積分的典型 物理背景是計算流體從曲 面一側流向另一側的流量 . 與第二型曲線積分相類似 , 第二型曲面積分與曲面所 取的方向有關, 這就需要先 定義“曲面的側”.

§2 第二型曲面積分

一、曲面的側 二、第二型曲面積分的概念 三、第二型曲面積分的計算 四、兩類曲面積分的聯系

*點擊以上標題可直接前往對應內容

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

曲面的側
設連通曲面 S 上到處都有連續變動的切平面 ( 或法 線 ), 曲面在其上每一點處的法線有兩個方向:當取 另一個指向就是負方 當 S 上的動點 M 從 時,如果有如下特 M
0

定其中一個指向為正方向時,
向. 又設

M 0 為 S 上任一點, L為 S上任一經過點

且不超出 S 邊界的閉曲線.
出發沿 L 連續移動一周而回到 征: 出發時 M 與
0

M0 , M0

取相同的法線方向 , 而回來時仍 M

保持原來的法線方向不變,則稱該曲面 S 是雙側的. 否則, 若

M 由某一點

M 0 出發, 沿 S 上某一封閉曲線
后退 前進 目錄 退出

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

回到

時 M 0 , 其法線方向與出發時的方向相反, 則稱 單側曲面的

S 是單側曲面. 我們通常遇到的曲面大多是雙側曲面. 一個典型例子是默比烏斯(M?bius)帶. 法如下:

它的構造方

取一矩形長紙條ABCD (如圖22-4(a)), 將其 ( 即讓 A 與 C 一端扭轉 180? 后與另一端粘合在一起

重合, B 與 D 重合, 如圖22-4(b)所示 ).

B A

C
M0

BD

D

AC

(a)

圖 22 ? 4

(b)

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

默比烏斯( M? bius,A.F. 1790-1868, 德 國)

通常由

z ? z ( x , y ) 所表示的曲面都是雙側曲面,
當 S 為封閉曲面時,法線方向朝外

其法

線方向與 z 軸正向的夾角成銳角的一側稱為上側, 另一側稱為下側.

的一側稱為外側,另一側稱為內側.
作為正側,下側作為負側; 正側, 內側作為負側.

習慣上把上側

又把封閉曲面的外側作為

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

第二型曲面積分的概念
先考察一個計算流量的問題. 設某流體以流速

? v ? P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j +R( x , y , z ) k
其中 P, Q, R 為

從曲面 S 的負側流向正側 (圖22-5),
所討論范圍上的連續函

S
Si

數,

求在單位時間內流過

曲面 S 的總流量 E. 設在 S 上任一點

(?i ,?i ,? i )

?

n

v

( x, y, z )
圖 22 ? 5

處的正向單位法向量為

§2 第二型曲面積分

曲面的側

? n ? (cos ? ,cos ? ,cos ? ),

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

這里 ?, ?, ? 都是 x, y, z 的函數. 小曲面塊

則單位時間內流經

的流量 S i ? ? ?i ? v (? i ,?i , ? i ) ? n(? i ,?i , ? i )?Si

? [ P (? i ,?i ,? i )cos? i ? Q(? i ,?i , ? i )cos ? i ? R(? i ,?i ,? i )cos ? i ]?Si , 其中 M i (? i ,?i , ? i ) ? Si 是任意取定的一點; ? 處的單位法向量; ni ? (cos ? i , cos ? i , cos ? i ) 是點 M i ?Si cos? i , ?Si cos ? i , ?Si cos ? i 分別是 S i 在坐標面 分別記作 ?S yz , zx , xy 上投影區域的近似面積, i ( yz ) ,

?Si ( zx ) , ?Si ( xy ) .

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

于是單位時間內由

Si

的負側流向正側的流量

?i

也就

近似等于

P (? i ,?i ,? i )?Si ( yz ) ? Q(? i ,?i ,? i )?Si ( zx ) ? R(? i ,?i ,? i )?Si ( xy ) .
所以, 單位時間內由
n n ||T ||?0

S
i ?1

的負側流向正側的總流量

? ? ??i ? lim ? ? ? P (? i ,? i , ? i )?Si ( yz )
i ?1

?Q(? i ,?i ,? i )?Si ( zx ) ? R(? i ,?i ,? i )?Si ( xy ) ? ?.
這種與曲面的側有關的和式極限就是所要討論的第
二型曲面積分.

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

定義1
設 P, Q, R 為定義在雙側曲面 S 上的函數. 割T, 它把 S 分為 對 S 作分 分割 T 的細度為

|| T ||? max? Si 的直徑 ? .
1? i ? n

S1 , S2 , ?, Sn ,

?Si ( yz ) , ?Si ( zx ) , ?Si ( xy ) 分別表示
的投影區域的面積, 它們的符號由

Si

在三個坐標面上

S i 的方向來確定: ? ? 0, Si 取上側 , ? ? 0, Si 取前側 , ? Si ( xy ) ? ? Si ( yz ) ? ? ? 0, Si 取下側; ? ? 0, Si 取后側; ? ? 0, Si 取右側 , ? Si ( zx ) ? ? ? 0, Si 取左側 .

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

定義1

?(? i ,?i ,? i ) ? Si , i ? 1, 2, ?, n .
n ||T ||?0 i ?1


n

I ? lim ? P (? i ,?i , ? i )?Si ( yz ) ? lim ? Q(? i ,?i , ? i )?Si ( zx )
||T ||?0

? lim
的選取無關,

||T ||?0

? R(? ,? , ?
i ?1 i i

n

i ?1

i

)?Si ( xy )

中的三個極限都存在,

且與分割 T 和點

(? i ,?i ,? i ) 的

?? F ? P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j +R( x , y , z ) k 記作 在曲面 S 所指定一側上的第二型曲面積分, P ( x, y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y, z )dxdy ? I , ?? S (1)

則稱此極限 I 為向量函數

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系



據此定義, 某流體以速度

?? P( x, y, z )dydz ? ?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? R( x , y, z )dxdy ? I . ?
S S S

v ? ( P , Q , R ) 從曲面 S 的

負側流向正側的總流量即為

? ? ?? P ( x, y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y , z )dxdy .
S

又如, 若空間中的磁場強度為

?? E ? ? P ( x , y, z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) ? , 則按指定方向穿過曲面 S 的磁通量(磁力線總數)為

H ? ?? P ( x , y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y, z )dxdy .
S

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

若以

S ? 表示曲面 S 的另一側, 由定義易知 ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy
? ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy .
S
S?

第二型曲面積分有類似于第二型曲線積分的性質: 1. 若

?? P dydz ? Q dzdx ? R dxdy (i ? 1,2,?, k ) 存在,
i i i

則有

?? (? c P )dydz ? (? c Q )dzdx ? (? c R )dxdy
S i ?1 i i i ?1 i i i ?1 i i

S

k

k

k

? ? ci ?? Pi dydz ? Qi dzdx ? Ri dxdy ,
i ?1

k

其中

ci ( i ? 1,2,?, k ) 是常數 .

Si

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

2. 若曲面S是由兩兩無公共內點的曲 面

S1 , S2 ,?, Sk

所組成, 則有

?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy
S

? ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy .
i ?1 Si

k

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

第二型曲面積分的 計 算
定理22.2


R( x , y , z )是定義在光滑曲面 S : z ? z( x , y ),( x , y ) ? D( xy ) .
以 S 的上側為正側(這時 S 的法線方 則有

上的連續函數, 向與

z 軸正向成銳角),

?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z( x, y ))dxdy .
S D( xy )

(2)

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

證 由第二型曲面積分的定義,

?? R( x, y, z )dxdy ? lim ? R(? ,? ,?
S ||T ||?0 i ?1 n i i
d ?0 i ?1

n

i

)?Si ( xy )

? lim ? R(? i ,?i , z(? i ,?i ))?Si ( xy ) ,
這里

d ? max?Si ( xy ) 的直徑? . 顯然有
z 在 D( xy ) 上連續(曲面光滑),


|| T || ? max ? Si 的直徑? ? 0 ? d ? 0.
由于 R 在 S 上連續, 復合函數的連續性, 由二重積分的定義,

R( x , y , z( x , y )) 在 D( xy )上也連續.

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

D( xy )

?? R( x, y, z( x, y ))dxdy ? lim ? R(? ,? , z(? ,? ))?S
d ?0 i ?1 i i i i

n

i ( xy )

.

所以

?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z( x, y ))dxdy .
S D( xy )

類似地, 當

P ( x , 在光滑曲面 y, z )
S : x ? x ( y , z ) , ( y , z ) ? D( yz )


上連續時,

?? P ( x, y, z )dydz ? ?? P ( x( y, z ), y, z )dydz .
S D( yz )

(3)

這里 S 是取法線方向與 側為正側.

x

軸的正向成銳角的那一

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系



在光滑曲面 Q( x , y , z )

S : y ? y( z , x ), ( z , x ) ? D( zx )
上連續時, 有

?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? Q( x, y( z, x ), z )dzdx.
S Dzx

(4)

這里 S 是取法線方向與 側為正側.

y

軸的正向成銳角的那一

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

例1 計算

?? xyzdxdy,
S

z

其中 S 是球 面 在

x2 ? y2 ? z2 ? 1
部分并取球面
x

x?0, y?0

O

S1
y

的外側(圖 22-6).
解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分別為

S2

圖 22 ? 6

S1 : z1 ? 1 ? x 2 ? y 2 ,
S 2 : z2 ? ? 1 ? x 2 ? y 2 .

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

它們在 xy 平面上的投影區域都是單位圓在第一象 限部分.
因積分是沿

S1 的上側和 S2 的下側進行,
S2



?? xyzdxdy ? ?? xyzdxdy ? ?? xyzdxdy
S
S1

?

D( xy )

??

xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy ?

D( xy )

?? ?

? xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy

?

? 2 ?? xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy
D( xy )
π 2 0

? 2?

2 d? ? r cos? sin? 1 ? r dr = . 0 15
1 3 2

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

例2 計算

??
S

e

y

x2 ? z2

dzdx , 其中 S

是由曲面

y ? x 2 ? z 2 與 y ? 1, y ? 2
解 曲面

所圍立體表面的外側. 其中

S ? S1 ? S2 ? S3 ,

S1 ? ( x , y ) x 2 ? z 2 ? 1, y ? 1 , 取左側,
其投影為

?

?

S2 ? ( x , y ) x 2 ? z 2 ? 2, y ? 2 , 取右側,
其投影為

?

D1 : x 2 ? z 2 ? 1;

?

S3 ? ( x , y ) y ? x 2 ? z 2 ,1 ? y ? 2 , 取左側,

?

D2 : x 2 ? z 2 ? 2;

?

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

其投影為

D3 :1 ? x 2 ? z 2 ? 2.
e


I1 ? ??
S1

y

x2 ? z2
1 0

dzdx ? ? ??
D1

e x2 ? z2

dzdx

(取左側)

? ?e ?

1 d? ? rdr ? ?2eπ. 0 r
y

I 2 ? ??
S2

e

x2 ? z2

dzdx ? ??
D2
2

e

2

x2 ? z2

dzdx

(取右側)

?e

2

?



0

d? ?

0

1 r dr ? 2 2e 2 π. r

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

I 3 ? ??
S3

e

y

x2 ? z2
2π 2 0 1

dzdx ? ? ??
D3

e

x2 ? z2

x2 ? z2
2

d zd x

(取左側)

? ? ? d? ?
因此

er r dr ? ?2(e r

? e) π.

??
S

e

y

x2 ? z2

dzdx ? I1 ? I 2 ? I 3
? ?2eπ+2 2e 2 π ? 2(e ? 2( 2 ? 1)e 2 π.
2

? e)π

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

如果光滑曲面 S 由參數方程給出:

? x ? x ( u, v ), ? S : ? y ? y( u, v ), ( u, v ) ? D . ? z ? z ( u, v ), ?
若在 D 上各點它們的函數行列式

?( y , z ) ?( z , x ) ?( x , y ) , , ?( u, v ) ?( u, v ) ?( u, v )
不同時為零, 則分別有

?( y , z ) Pdydz ? ? ?? P ( x( u, v ), y(u, v ), z (u, v )) dudv , (5) ?? ? ( u, v ) S D

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

?( z , x ) Qdzdx ? ? ?? Q( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) dudv , (6) ?? ? ( u, v ) S D ?( x , y ) Rdxdy ? ? ?? R( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) dudv , (7) ?? ? ( u, v ) S D
注 (5),(6),(7) 三式前的正負號分別對應 S 的兩側, 特別當 向一側時,

uv 平面的正方向對應于曲面
式前取正號, 否則取負號.

S

所選定的正

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

例3 計算

?? x dydz , 其中 S 為橢球面
3 S

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ?1 2 a b c

的上半部分, 并取外側.

解 把曲面表示為參數方程:

由(5)式有

x ? a sin ? cos? , y ? b sin ? sin? , z ? c cos ? π (0 ? ? ? , 0 ? ? ? 2 π) . 2

?? x dydz ? ? ?? a
3 S D( ? ? )

3

sin ? cos ? ? Ad? d? ,
3 3

(8)

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

其中

?( y, z ) b cos? sin? b sin? cos? A? ? ? bc sin 2 ? cos? , ?(? ,? ) ?c sin? 0
積分是在 S 的正側進行. 號, 即
3 x ?? dydz ? S

由上述的注, (8)式右端取正

D( ? ? )
3

??

a 3 sin 3? cos 3 ? ? bc sin 2 ? cos? d? d?
? 2 0 5 2?

? a bc ? sin ? d? ? cos 4? d?
0

2 3 ? ?a bc . 5

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

兩類曲面積分的聯系
與曲線積分一樣,當曲面的側確定之后,可以建立 兩種類型曲面積分的聯系.

設 S 為光滑曲面, 并以上側為正側, R 為 S 上的連續
函數, 曲面積分在 S 的正側進行.
n ||T ||?0 i

因而有
i i

?? R( x, y, z )dxdy ? lim ? R(? ,? ,?
S i ?1

)?Si ( xy ) . (9)

由曲面面積公式(第二十一章§6),

1 ?Si ? ?? dxdy , cos ? Si ( xy )

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

其中 ? 是曲面

Si

的法線方向與 z 軸正向的交角, 它 因為積分沿曲面正側進行,

是定義在

Si ( xy ) 上的函數.

所以 ? 是銳角.

又由 S 是光滑的, 所以 應用中值定理, 在

cos ? 在閉域

S i ( xy ) 上連續.

S i ( xy ) 內必存在一點,

使這點的法線方向與 z 軸正向的夾角

或 于是

1 ?S i ? ?Si ( xy ) * cos ? i

? i*

滿足等式

?Si ( xy ) ? cos ? i* ? ?Si . R(? i ,?i , ? i )?Si ( xy ) ? R(? i ,?i , ? i )cos ? i*?Si . (10)

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

cos ? i 表示曲面 Si 在點 ( xi , yi , zi ) 的法線方向 則由 cos ? 的連續性, 可推 與 z 軸正向夾角的余弦,
現以 得當 得到

|| T ||? 0 時,

(10)式右端極限存在.

因此由(9)式

?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z )cos ? dS .
S S

(11)

這里注意當改變曲面的側向時, 左邊積分改變符號; 右邊積分中角 ? 改為

? ? π,

因而

cos ?

也改變符號,

所以右邊積分也相應改變了符號.

同理可證:

?? P( x, y, z )dydz ? ?? P( x, y, z )cos?dS ,
S S

(12)

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? Q( x, y, z )cos ? dS ,
其中? , ? 分別是 S 上的法線方向與 x 軸正向和與 y
軸正向的夾角. 一般地有
S S

(13)

?? P ( x, y, z )dydz ? Q( x, y, z )dzdx ?R( x, y, z )dxdy
S

? ?? ? P ( x , y , z )cos ? ? Q ( x , y , z )cos ?
S

? R( x, y, z )cos ? ? dS . (14) cos ? , cos ? , cos ? 之后, 由 這樣, 在確定了余弦函數
(11), (12),(13),(14) 式便建立了兩種不同類型曲面積 分的聯系.

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

注 當曲面由
時,

z ? z( x , y ),( x , y ) ? D( xy )
2 dS ? 1 ? z x ? z2 y dxdy ,

表示, 且取上側

cos ? ?
因此

? zx 1? z ? z
2 x 2 y

, cos ? ?

?zy 1? z ? z
2 x 2 y

, cos ? ? 1;

?? P( x, y, z )dydz ? Q( x, y, z )dzdx ?R( x, y, z )dxdy
S

?

D( xy )

?? [ P ( x, y, z )(?z

x

) ? Q( x , y , z )( ? z y ) ? R( x , y , z )]dxdy .

上式避免了同一曲面要向三坐標平面作投影, 從而 使計算得到簡化.

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

例4 計算 其中 解

??
S

y( x ? z )dydz ? x 2dzdx ? ( y 2 ? xz )dxdy ,
的部分, 并取上側.

2 2 S為 z ? 5 ? x ? y , z ? 1

D( xy ) : x 2 ? y 2 ? 4; ? z x ? 2 x , ? z y ? 2 y .

?? y( x ? z )dydz ? x dzdx ? ( y
2

2

? xz )dxdy

?
?

D( xy )

??

S

2 2 2 2 ? y ( x ? (5 ? x ? y ))(2 x ) ? x (2 y ) ? y ? xz ? ? ? dxdy

D( xy )

??

y dxdy ? ? d? ? r 3 sin 2 ? dr ? 4π.
2 0 0

2?

2

§2 第二型曲面積分

曲面的側

概念

計算

兩類曲面積分的聯系

上面第二步計算后得到

D( xy )

??

是利用了積分區 y dxdy ,
除了這一項外,其

2

域的對稱性和被積函數的奇偶性, 他各積分項全都等于零.


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